bài tập tính diện tích hình phẳng có đáp án

Ứng dụng tích phân tính diện tích S hình phẳng lì và cơ hội giải - Toán lớp 12

Bạn đang xem: bài tập tính diện tích hình phẳng có đáp án

A. LÝ THUYẾT.

1. Diện tích hình phẳng lì số lượng giới hạn vì chưng một đàng cong và trục hoành.

Diện tích S của hình phẳng lì số lượng giới hạn vì chưng trang bị thị của hàm số  y = f(x) liên tiếp, trục hoành và hai tuyến phố trực tiếp x = a; x = b được xem theo đòi công thức

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$ (1)

Chú ý: Để tính diện tích S S tao nên tính tích phân (1), mong muốn vậy tao nên huỷ lốt độ quý hiếm tuyệt đối:

Muốn xét lốt của biểu thức f(x) tao thông thường với một vài cách thức như sau:

Cách 1: Sử dụng bảng xét lốt mang lại f(x) với ghi ghi nhớ qua quýt nghiệm bội lẻ f(x) thay đổi lốt, qua quýt nghiệm bội chẵn f(x) ko thay đổi lốt.

Cách 2: Dựa vô trang bị thị của hàm số nó = f(x) bên trên đoạn [a; b] nhằm suy đi ra lốt của f(x) bên trên đoạn đó:

- Nếu bên trên đoạn [a; b] trang bị thị hàm số nó = f(x) ở phía bên trên trục hoành thì $f\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left[a;b\right]$.

- Nếu bên trên đoạn [a; b] trang bị thị hàm số nó = f(x) ở phía bên dưới trục hoành thì $f\left(x\right)\le 0,\forall x\in \left[a;b\right]$.

Cách 3: Nếu f(x) ko thay đổi lốt bên trên [a; b] thì tao có: $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|d\text{x}=\left|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\right|$

Cách 4: Sử dụng PC CASIO, tuy vậy Xu thế đi ra đề thi đua THPT Quốc gia tiếp tục giới hạn CASIO nên cần thiết để ý cơ hội giải tổng quát mắng và làm rõ bạn dạng chất!

2. Diện tích hình phẳng lì số lượng giới hạn vì chưng hai tuyến phố cong.

Cho nhị hàm số nó = f(x) và nó = g(x) liên tiếp bên trên đoạn [a; b].

Khi tê liệt diện tích S S của hình phẳng lì số lượng giới hạn vì chưng trang bị thị hàm số nó = f(x); nó = g(x) và hai tuyến phố trực tiếp x = a, x = b là $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$.

Tương tự động như để ý phía trên thì ở câu hỏi này tao cũng nên xét đoạn nhưng mà lốt của $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ không thay đổi.

Chú ý:

- Giả sử phương trình với nhị nghiệm $c;d\left(c<d\right)$. Khi tê liệt $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ không thay đổi lốt bên trên những đoạn $\left[a;b\right],\left[c;d\right],\left[d;b\right]$. Trên từng đoạn tê liệt, ví dụ điển hình bên trên đoạn $\left[a;c\right]$ thì tao có:

$\underset{a}{\overset{c}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx=\left|\underset{a}{\overset{c}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx\right|$

- Khi tính diện tích S của hình phẳng lì số lượng giới hạn vì chưng nhị trang bị thị hàm số tao có:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|d\text{x}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|h\left(x\right)\right|d\text{x}$

 ta xét lốt bằng phương pháp thực hiện trọn vẹn tương tự động như bên trên phần 1.

- Nếu đề bài bác ko cho những đường thẳng liền mạch số lượng giới hạn x = a; x = b tao giải phương trình f(x) = g(x) (hoặc f(x) = 0 vô tình huống g(x) là trục hoành) nhằm thám thính cận của tích phân.

3. Ứng dụng tính diện tích S hình tròn trụ và hình Elip

a) Tính diện tích S hình tròn

 Trong hệ tọa chừng Oxy mang lại đàng tròn trặn với phương trình: $x^2+y^2=r^2\left(r>0\right)$. Khi tê liệt hình tròn trụ tê liệt với diện tích S là: $S=\pi r^2$

Ta có:

$x^2+y^2=r^2\iff y=\pm \sqrt{r^2-x^2}$

Với $y\ge 0$, tao có: $y=\sqrt{r^2-x^2}$ có trang bị thị là nửa đàng tròn trặn phía bên trên trục hoành.

Bằng cơ hội bịa $x=r\sin t$ ta với diện tích S $S_1=\underset{-r}{\overset{r}{\int }}\sqrt{r^2-x^2}dx=2\underset{0}{\overset{r}{\int }}\sqrt{r^2-x^2}dx=\frac{\pi r^2}{2}$

Do tê liệt $S=2{\text{S}}_1=\pi r^2$.

b) Tính diện tích S hình Elip

Trong hệ tọa chừng Oxy mang lại elip với phương trình: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,0<b<a$.

Chứng minh tương tự động tao với diện tích S của elip là: $S=\pi ab$ (đvdt).

B. VÍ DỤ MINH HOẠ.

Ví dụ 1. Tính diện tích S hình phẳng lì (hình được tô màu) được màn trình diễn ở hình bên dưới.

Lời giải

Nhận thấy bên trên $\left[a;c\right]$ và $\left[d;b\right]$ thì $f_1\left(x\right)\ge f_2\left(x\right)$; bên trên $\left[c;d\right]$ thì  $f_1\left(x\right)\le f_2\left(x\right)$

Do vậy:

(Trên đó là cơ hội vứt lốt độ quý hiếm tuyệt đối)

Ví dụ 2. Tính diện tích S hình phẳng lì bên trên được số lượng giới hạn vì chưng trang bị thị hàm số $y=-x^2+2\text{x}-2$, trục hoành và những đường thẳng liền mạch x = 0; x = 3.

Lời giải

Diện tích S của hình phẳng lì bên trên là $S=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|-x^2+2\text{x}-2\right|d\text{x}$.

Ta có: 

$-x^2+2\text{x}-2\le 0,\forall x\in \left[0;3\right]$

$$\begin{gathered} S=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|-x^2+2\text{x}-2\right|d\text{x} \\ =\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(x^2-2\text{x}+2\right)d\text{x} \\ = {\left.\left(\frac{x^3}{3}-x^2+2\text{x}\right)\right|}_0^3=6 \left(đvdt\right). \end{gathered}$$

Ví dụ 3. Diện tích hình phẳng lì số lượng giới hạn vì chưng nhị trang bị thị hàm số $y=x^2-x+1,y=x+1$ là

A. $-\frac{4}{3}$

B. $\frac{4}{3}$

C. 1

D.  $\frac{2}{3}$

Lời giải

Phương trình hoành chừng giao phó điểm 2 trang bị thị là:

$$\begin{gathered} x^2-x+1=x+1 \\ \iff x^2-2\text{x}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Diện tích cần thiết thám thính là:

$$\begin{gathered} S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-x+1-x-1\right|d\text{x} \\ =\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-2\text{x}\right|d\text{x}=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(2\text{x}-x^2\right)d\text{x} \\ ={\left.\left(x^2-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_0^2=\frac{4}{3} \end{gathered}$$

Chọn B.

Ví dụ 4. Tính diện tích S S của hình phẳng lì số lượng giới hạn vì chưng trang bị thị của hàm số $y=e^x+x$ và những đường thẳng liền mạch $x-y+1=0,x=\ln 5$.

A. $S=5-\ln 4$

B. $S=4-\ln 5$

C. $S=4+\ln 5$

D.  $S=5+\ln 4$

Lời giải

Ta có: 

$$\begin{gathered} x-y+1=0 \\ \iff y=x+1 \end{gathered}$$

Phương trình hoành chừng giao phó điểm của nhị trang bị thị là:

$$\begin{gathered} e^x+x=x+1 \\ \iff e^x=1\iff x=0 \end{gathered}$$

Diện tích hình phẳng lì cần thiết thám thính là:

$$\begin{gathered} S=\underset{0}{\overset{\ln 5}{\int }}\left|e^x-1\right|d\text{x} \\ =\underset{0}{\overset{\ln 5}{\int }}\left(e^x-1\right)d\text{x}={\left.\left(e^x-x\right)\right|}_0^{\ln 5}=4-\ln 5 \end{gathered}$$

Chọn B.

Ví dụ 5. Tính không gian của các hình phẳng giới hạn bởi: Parabol $y=x^2-2x+2$, tiếp tuyến của nó tại điểm M(3; 5) và trục tung.

A. 10

B. 8

C. 9

D. 12

Lời giải

Chọn C.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 1. Viết công thức tính diện tích S hình thang cong số lượng giới hạn vì chưng trang bị thị hàm số nó = f(x), trục hoành và hai tuyến phố trực tiếp x = a, x = b (a < b) là:

A. $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x.$

B. $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x.$

C. $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)\text{d}x.$

D. $S=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x.$

Câu 2. Cho trang bị thị hàm số nó = f(x). Diện tích S của hình phẳng lì (phần tô đậm vô hình dưới) là:

A. $S=\underset{-2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$

B. $S=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$

C. $S=\underset{0}{\overset{-2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$

D. $S=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{3}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$

Câu 3. Diện tích của hình phẳng lì số lượng giới hạn vì chưng trang bị thị nhị hàm số $y=x^2+2$ và $y=3x$ là:

A. $S=2$

B. $S=3$

C. $S=\frac{1}{2}$

D. $S=\frac{1}{6}$.

Câu 4. Kết trái ngược của diện tích S hình phẳng lì số lượng giới hạn vì chưng trang bị thị hàm số $y=-x^3+3x^2-2$, trục hoành, trục tung và đường thẳng liền mạch x = 2 với dạng $\frac{a}{b}$ (với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi tê liệt nguyệt lão tương tác thân ái a và b là:

A. $a-b=2.$

B. $a-b=3$

C. $a-b=-2.$

D. $a-b=-3$

Câu 5. Kết trái ngược của việc tính diện tích S hình phẳng lì số lượng giới hạn vì chưng trang bị thị $\left(C\right):y=x^4-2x^2+1$ và trục Ox sớm nhất với độ quý hiếm này sau đây?

A. $S=\frac{1}{2}.$

B. $S=1.$

C. $S=\frac{3}{2}.$

D. $S=2.$

Câu 6. Diện tích hình phẳng lì số lượng giới hạn vì chưng những đàng $y=x\sqrt{1+x^2}$, trục hoành và đường thẳng liền mạch x = 1 là:

A. $S=\frac{1}{3}.$

B. $S=\frac{2\sqrt{2}-1}{3}.$

Xem thêm: các bài toán lớp 1 về dấu lớn dấu bé

C. $S=\frac{2\sqrt{2}+1}{3}.$

D. $S=2\left(\sqrt{2}-1\right).$

Câu 7. Diện tích hình phẳng lì số lượng giới hạn vì chưng những đàng $y=\sqrt{x}$ và $x-2y=0$ bằng với diện tích S hình này sau đây:

A. Diện tích hình vuông vắn với cạnh vì chưng 2.

B. Diện tích hình chữ nhật với chiều nhiều năm, chiều rộng lớn theo thứ tự 5 và 3.

C. Diện tích hình tròn trụ với nửa đường kính vì chưng 3.

D. Diện tích toàn phần khối tứ diện đều sở hữu cạnh vì chưng $\frac{2\sqrt[4]{3}}{3}$.

Câu 8. Diện tích hình phẳng lì số lượng giới hạn vì chưng trang bị thị hàm số $y=\frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}$, trục hoành, đường thẳng liền mạch x = 0 và đường thẳng liền mạch x = 4 là:

A. $S=-\frac{8}{5}.$

B. $S=\frac{8}{5}.$

C. $S=\frac{2}{25}.$

D. $S=\frac{4}{25}.$

Câu 9. Tính diện tích S hình phẳng lì số lượng giới hạn vì chưng những đàng nó = xlnx, trục hoành và đường thẳng liền mạch x = e.

A. $S=\frac{e^2+1}{4}$

B. $S=\frac{e^2+1}{6}$

C. $S=\frac{e^2+1}{8}$

D. $S=\frac{e^2+1}{2}$

Câu 10. Diện tích hình phẳng lì số lượng giới hạn vì chưng trang bị thị hàm số $y=e^x+x$, trục hoành, trục tung và đường thẳng liền mạch  x = 1 là:

A. $S=e+\frac{1}{2}.$

B. $S=e-\frac{1}{2}.$

C. $S=e+1.$

D. $S=e-1.$

Câu 11. Gọi S là diện tích S hình phẳng lì số lượng giới hạn vì chưng những đàng $y=\left(e+1\right)x$ và $y=\left(1+e^x\right)x$. Giá trị  cần thám thính là:

A. $S=\frac{e+2}{2}$

B. $S=\frac{e}{2}$

C. $S=\frac{e-2}{2}$

D. $S=\frac{e-2}{4}$

Câu 12. Tính diện tích S hình phẳng lì số lượng giới hạn vì chưng nửa đàng tròn trặn $y=\sqrt{2-x^2}$ và đường thẳng liền mạch d trải qua nhị điểm $A(-\sqrt{2};0)$ và B(1; 1)  (phần tô đậm như hình vẽ).

A. $\frac{\pi +2\sqrt{2}}{4}.$

B. $\frac{3\pi +2\sqrt{2}}{4}.$

C. $\frac{\pi -2\sqrt{2}}{4}.$

D. $\frac{3\pi -2\sqrt{2}}{4}.$

Câu 13. Diện tích hình phẳng lì số lượng giới hạn vì chưng trang bị thị hàm số $y=4-\frac{1}{x^2}$ đường trực tiếp nó = - 1, đường thẳng liền mạch nó = 1 và trục tung được xem như sau:

A. $S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(4-\frac{1}{x^2}\right)\text{d}x$

B. $S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|4-\frac{1}{x^2}\right|\text{d}x.$

C. $S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{4-y}}.$

D. $S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{-1}{\sqrt{4-y}}\text{d}y.$

Câu 14. Diện tích của hình phẳng lì số lượng giới hạn vì chưng hai tuyến phố cong với phương trình $x-y^2=0$ và $x+2y^2-12=0$ bằng:

A. S = 15

B. S = 32.

C. S = 25

D. S = 30

Câu 15. Tính không gian hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số nó = sin x + 1, trục hoành và nhị đường thẳng x = 0 và $x=\frac{7\pi }{6}$.

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{7\pi }{6}-1$

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{7\pi }{6}+1$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{7\pi }{3}+1$

D. $\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{7\pi }{6}-1$

Câu 16. Tính không gian hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$ và $y=\sqrt[3]{x}$.

A. $\frac{1}{12}$

B. $\frac{1}{9}$

C. $\frac{1}{8}$

D. $\frac{1}{15}$

Câu 17. Tính không gian hình phẳng giới hạn bởi đồ thị nhị hàm số $y=2x^2$ và $y=x^4-2x^2$ trong miền x > 0.

A. $\frac{34}{15}$

B. $\frac{14}{15}$

C. $\frac{64}{15}$

D. $\frac{32}{15}$

Câu 18. Tính diện tích S hình phẳng lì số lượng giới hạn vì chưng parabol: $y=x^2+1$, tiếp tuyến với đàng này bên trên điểm M(2; 5) và trục Oy.

A. $\frac{5}{6}$

B. $\frac{9}{11}$

C. $\frac{8}{3}$

D. $\frac{5}{2}$

Câu 19. Tính diện tích S của những hình phẳng lì được số lượng giới hạn vì chưng những đàng cong $y=x^3;y=x;y=2x.$

A. $\frac{7}{3}$

B. $\frac{5}{4}$

C. $\frac{3}{2}$

D. $\frac{1}{2}$

Câu đôi mươi. Tính diện tích S của những hình phẳng lì được số lượng giới hạn vì chưng những đàng cong $y^2=2x+1;y=x-1$

A. $\frac{7}{3}$

B. $\frac{16}{3}$

C. $\frac{21}{11}$

D. $\frac{8}{9}$

Câu 21. Tính diện tích S số lượng giới hạn vì chưng $\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}y=e^x\\ y=e^{-x}\end{array}\\ x=1\end{array}\right.$.

A. $2e+\frac{3}{e}-2$

B. $e+\frac{2}{e}-1$

C. $e+\frac{1}{e}-2$

D. $2e+\frac{1}{e}$

Câu 22. Tính diện tích S số lượng giới hạn bởi: $y=\frac{1}{2}\left(x^2-4x+3\right)$ và nhị tiếp tuyến khởi đầu từ $M\left(3;-2\right)$.

A. 8

B. 5

C. 13

D. 11

Câu 23. Gọi (D) là miền số lượng giới hạn bởi: $y=-3x+10$; $y=1,y=x^2\left(x>0\right)$ và (D) ở ngoài $\left(P\right):y=x^2$.

A. $\frac{11}{12}$

B. $\frac{7}{2}$

C. $\frac{34}{13}$

D. $\frac{17}{6}$

Câu 24. Tính diện tích S số lượng giới hạn bởi: $\left\{\begin{array}{c}y=x\sqrt{1-x^2},y=0\\ x=0,x=1\end{array}\right.$

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{5}{4}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{1}{2}$

Câu 25. Tính diện tích S phần mặt mày phẳng lì bị số lượng giới hạn vì chưng trang bị thị hàm số $y=\left(x+1\right)\sin x$ với đàng thẳng $x=-\pi ;x=0$ và trục Ox.

A. $\pi -2\sin 1$

B. $\pi -2$

C. $\pi$

D. $\pi -\sin 1$

Câu 26. Tính diện tích S phần mặt mày phẳng lì bị số lượng giới hạn vì chưng trang bị thị hàm số $y=e^x\cos 2x$ với đường thẳng liền mạch $x=0;x=\frac{\pi }{4}$ và trục Ox.

A. $\frac{e^{\frac{\pi }{4}}-1}{3}$

B. $\frac{e^{\frac{\pi }{4}}-1}{7}$

C. $\frac{e^{\frac{\pi }{4}}-1}{2}$

D. $\frac{e^{\frac{\pi }{4}}-1}{5}$

Câu 27. Cho (H) là hình phẳng lì số lượng giới hạn vì chưng parabol $y=\sqrt{3}{x}^2$ và nửa đàng tròn trặn với phương trình $\text{y=}\sqrt{{\text{4-x}}^{\text{2}}}$ với -2 ≤ x ≤ 2 (phần tô đậm vô hình vẽ). Diện tích của (H) bằng?

A. $\frac{2\pi +5\sqrt{3}}{3}.$

B. $\frac{4\pi +5\sqrt{3}}{3}.$

C. $\frac{4\pi +\sqrt{3}}{3}.$

D. $\frac{2\pi +\sqrt{3}}{3}.$

Câu 28. Kí hiệu  S₁, S₂, S₃ theo thứ tự là diện tích S hình vuông vắn với cạnh là một trong, hình tròn trụ với nửa đường kính vì chưng 1, hình phẳng lì số lượng giới hạn vì chưng hai tuyến phố $\text{y=2}\sqrt{{\text{1-x}}^{\text{2}}}\text{;y=2(1-x).}$ Tính tỉ số $\frac{S_1+S_3}{S_2}.$

A. $\frac{1}{5}.$

B. $\frac{1}{3}.$

C. $\frac{1}{2}.$

D. $\frac{1}{4}.$

Xem thêm: huong dan giai vo bai tap sinh hoc lop 6

Đáp án