các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Nhắc lại hệ thức lượng nhập tam giác vuông.

Cho tam giác \(ABC\) vuông góc bên trên đỉnh \(A\) (\(\widehat{A} = 90^0\)), tớ có:

Bạn đang xem: các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

1. \({b^2} = ab';{c^2} = a.c'\)

2. Định lý Pitago : \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)

3. \(a.h = b.c\)

4. \(h^2= b’.c’\)

5. \(\dfrac{1}{h^{2}}\) = \(\dfrac{1}{b^{2}}\) + \(\dfrac{1}{c^{2}}\)

 

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh vị tổng những bình phương của nhì cạnh còn sót lại trừ cút nhì phen tích của nhì cạnh bại nhân với \(cosin\) của góc xen thân thuộc bọn chúng.

Ta đem những hệ thức sau:  

$$\eqalign{
& {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \, \, (1) \cr
& {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B \, \, (2) \cr
& {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C \, \, (3) \cr} $$

Hệ trái ngược của quyết định lí cosin:

\(\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)

\(\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)

\(\cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)

Áp dụng: Tính chừng nhiều năm đàng trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác \(ABC\) đem những cạnh \(BC = a, CA = b\) và \(AB = c\). Gọi \(m_a,m_b\) và \(m_c\) là chừng nhiều năm những đàng trung tuyến thứu tự vẽ kể từ những đỉnh \(A, B, C\) của tam giác. Ta có

\({m_{a}}^{2}\) =  \(\dfrac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}\)

\({m_{b}}^{2}\) = \(\dfrac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}\)

\({m_{c}}^{2}\) = \(\dfrac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}\)

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác \(ABC\) ngẫu nhiên, tỉ số thân thuộc một cạnh và sin của góc đối lập với cạnh bại vị 2 lần bán kính của đàng tròn trặn nước ngoài tiếp tam giác, nghĩa là

\(\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R\)

với \(R\) là nửa đường kính đàng tròn trặn nước ngoài tiếp tam giác 

Xem thêm: tại sao các nst phải co xoắn tối đa trước khi bước vào kì sau

Công thức tính diện tích S tam giác

Diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\) được xem theo đòi một trong số công thức sau

\(S = \dfrac{1}{2} ab \sin C= \dfrac{1}{2} bc \sin A \) \(= \dfrac{1}{2}ca \sin B \, \,(1)\)   

\(S = \dfrac{abc}{4R}\, \,(2)\)           

\(S = pr\, \,(3)\)              

\(S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\)  (công thức  Hê - rông) \((4)\)

Trong đó:\(BC = a, CA = b\) và \(AB = c\); \(R, r\) là nửa đường kính đàng tròn trặn nước ngoài tiếp, bk đàng tròn trặn nội tiếp và \(S\) là diện tích S tam giác bại.

3. Giải tam giác và phần mềm nhập việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là đi tìm kiếm những nhân tố (góc, cạnh) chưa chắc chắn của tam giác Lúc tiếp tục biết một trong những nhân tố của tam giác bại.

Muốn giải tam giác tớ cần thiết mò mẫm côn trùng tương tác trong những góc, cạnh tiếp tục mang lại với những góc, những cạnh chưa chắc chắn của tam giác trải qua những hệ thức đang được nêu nhập quyết định lí cosin, quyết định lí sin và những công thức tính diện tích S tam giác.

Các Việc về giải tam giác: Có 3 Việc cơ bạn dạng về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác lúc biết một cạnh và nhì góc.

=> Dùng quyết định lí sin nhằm tính cạnh còn sót lại.

b) Giải tam giác lúc biết nhì cạnh và góc xen giữa

=> Dùng quyết định lí cosin nhằm tính cạnh loại tía. 

Sau bại người sử dụng hệ trái ngược của quyết định lí cosin nhằm tính góc.

c) Giải tam giác lúc biết tía cạnh

Đối với Việc này tớ dùng hệ trái ngược của quyết định lí cosin nhằm tính góc: 

    \(\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)       

    \(\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)

    \(cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)

Chú ý: 

Xem thêm: hoàng hạc lâu tống mạnh hạo nhiên chi quảng lăng

1. Cần Note là 1 trong tam giác giải được Lúc tớ biết 3 nhân tố của chính nó, nhập bại nên đem tối thiểu một nhân tố chừng nhiều năm (tức là nhân tố góc ko được quá 2)

2. Việc giải tam giác được dùng nhập những Việc thực tiễn, nhất là những Việc đo lường.